부동소수점 수의 표현, 부동소수점 산술 연산

부동소수점 표현(floating-point representation) : 소수점의 위치를 이동시킬 수 있는 표현 방법

부동소수점 수(floating-point number)의 일반적인 형태

N = (-1)S M × BE

단, S: 부호(sign), M: 가수(mantissa), B: 기수(base), E: 지수(exponent)

2진 부동소수점 수(binary floating-point number)

기수 B = 2

단일-정밀도(single-precision) 부동소수점 수 : 32 비트

복수-정밀도(double-precision) 부동소수점 수 : 64 비트

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단일-정밀도 부동소수점 수 형식의 예

S: 1 비트, E: 8 비트, M: 23 비트

지수(E) 필드의 비트 수가 늘어나면, 표현 가능한 수의 범위 확장

가수(M) 필드의 비트 수가 늘어나면, 정밀도(precision) 증가

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같은 수에 대한 부동소수점 표현

같은 수에 대한 부동소수점 표현이 여러 가지가 존재

0.1101 × 25

110.1 × 22

0.01101 × 26

정규화된 표현(normalized representation)

수에 대한 표현을 한 가지로 통일하기 위한 방법

± 0.1bbb...b × 2E

위의 예에서 정규화된 표현은 0.1101 × 25

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비트 배열의 예 (0.1101 × 25)

부호(S) 비트 = 0

지수(E) = 00000101

가수(M) = 1101 0000 0000 0000 0000 000

소수점 아래 첫 번째 비트는 항상 1이므로, 저장할 필요가 없음 가수 23비트를 이용하여 소수점 아래 24 자리 수까지 표현 가능

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바이어스된 지수 (biased exponent)

지수를 바이어스된 수(biased number)로 표현

사용 목적

0에 대한 표현에서 모든 비트들이 0이 되게 하여, 0-검사(zero-test)가 용이하게 하기 위함 0-검사가 정수에서와 같은 방법으로 가능

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8-비트 바이어스된 지수값들

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바이어스된 지수를 사용한 부동소수점 표현의 예

바이어스값 = 128일 때, N = - 13.625에 대한 부동소수점 표현

13.62510 = 1101.1012 = 0.1101101 × 24

부호(S) 비트 = 1 (-)

지수(E) = 00000100 + 10000000 = 10000100

(바이어스 128을 더한다)

가수(M) = 10110100000000000000000

(소수점 우측의 첫 번째 1은 제외)

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부동소수점 수의 표현 범위

부동소수점 수의 표현 범위

0.5 × 2-128에서 (1 - 2-24) × 2127 사이의 양수들(대략 1.47 x 10-39 ~ 1.7 x 1038)

-(1 - 2-24) × 2127 에서 -0.5 × 2-128 사이의 음수들

제외되는 범위

(1 - 2-24) × 2127보다 작은 음수  음수 오버플로우(negative overflow)

0.5 × 2-128 보다 큰 음수  음수 언더플로우(negative underflow)

0

0.5 × 2-128 보다 작은 양수  양수 언더플로우(positive underflow)

(1 - 2-24) × 2127 보다 큰 양수 양수 오버플로우(positive overflow)

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32-비트 데이터 형식의 표현 가능한 수의 범위

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IEEE 754 표준 부동소수점 수의 형식

부동소수점 수의 표현 방식의 통일을 위하여 미국전기전자공학회(IEEE)에서 정의한 표준

표현 방법

N = (-1)S 2E-127 (1.M)

가수 : 부호화-크기 표현 사용

지수 필드 : 바이어스 127 사용

1.M × 2E의 형태를 가지며, 소수점 아래의 M 부분만 가수 필드에 저장(소수점 왼쪽의 표현되지 않는 1을 hidden bit라고 지칭)

64-비트 복수-정밀도 부동소수점 형식을 사용하는 경우

N = (-1)S 2E-1023 (1.M)

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IEEE 754 표준 부동소수점 수의 형식

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IEEE 754 표현 예 (N = - 13.625 )

13.62510 = 1101.1012 = 1.101101 × 23

부호(S) 비트 = 1 (-)

지수 E = 00000011 + 01111111 = 10000010

(바이어스 127을 더한다)

가수 M = 10110100000000000000000

(소수점 좌측의 1은 제외한다)

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예외 경우를 포함한 IEEE 754 표준

예외 경우를 포함한 정의 (32-비트 형식)

만약 E = 255이고 M ≠ 0이면, N = NaN

만약 E = 255이고 M = 0이면, N = (-1)S ∞

만약 0 < E < 255 이면, N = (-1)S 2E-127 (1.M)

만약 E = 0이고 M ≠ 0이면, N = (-1)S 2-126 (0.M)

만약 E = 0이고 M = 0이면, N = (-1)S 0

예외 경우를 포함한 정의 (64-비트 형식)

만약 E = 2047이고 M ≠ 0이면, N = NaN

만약 E = 2047이고 M = 0이면, N = (-1)S ∞

만약 0 < E < 2047 이면, N = (-1)S 2E-1023 (1.M)

만약 E = 0이고 M ≠ 0이면, N = (-1)S 2-1022 (0.M)

만약 E = 0이고 M = 0이면, N = (-1)S 0

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부동소수점 덧셈 / 뺄셈

덧셈과 뺄셈

지수들이 일치되도록 조정 (alignment)

가수들 간의 연산(더하기 혹은 빼기) 수행

결과를 정규화 (normalization)

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부동소수점 산술의 파이프라이닝

단계 수만큼의 속도 향상

대규모의 부동소수점 계산을 처리하는 거의 모든 슈퍼컴퓨터들에서 채택

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부동소수점 곱셈 / 나눗셈

2진수 부동소수점 곱셈 과정

가수들을 곱한다

지수들을 더한다

결과값을 정규화

2진수 부동소수점 나눗셈 과정

가수들을 나눈다

피젯수의 지수에서 젯수의 지수를 뺀다

결과값을 정규화

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부동소수점 연산 과정에서 발생 가능한 문제들

지수 오버플로우(exponent overflow)

양의 지수값이 최대 지수값을 초과

수가 너무 커서 표현될 수 없는 상태이므로, +∞ 또는 -∞로 세트

지수 언더플로우(exponent underflow)

음의 지수값이 최대 지수값을 초과

수가 너무 작아서 표현될 수 없는 상태이므로, 0으로 세트

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가수 언더플로우(mantissa underflow)

가수의 소수점 위치 조정 과정에서 비트들이 가수의 우측 편으로 넘치는 경우

 반올림(rounding) 적용

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가수 오버플로우(mantissa overflow)

같은 부호를 가진 두 가수들을 덧셈하였을 때 올림수가 발생하는 경우

 재조정(realignment) 과정을 통하여 정규화